Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức THCS

Tr
phòng GD & ĐT huyện yên thành
trường THCS Mã Thành
Moọt soỏ phửụng phaựp chửựng minh 
Baỏt ẹaỳng Thửực THCS 
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc
Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS
Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của chương trình Toán TH. Đối với chương trình Toán THCS các em học sinh thường gặp dạng Toán này trong các kì thi “lớn” như HSG hoặc vào các trường chuyên. Song trong quá trình giãng dạy của mình, Tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh thường rất yếu về dạng Toán này. Chính vì thế mà bài viết này Tôi muốn gửi tới toàn thể các em Học Sinh những gì mà Tôi nghĩ là gần gũi với các em nhất, với mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ đó giải thành thạo giạng Toán này.
Phần I : các kiến thức cần nhớ.
1) Đinhnghĩa 
2) Tính chất
 +) A > B B < A
 +) A > B và B > C A > C
 +) A > B A + C > B + C
 +) A > B và C > D A + C > B + D
 +) A > B và C > 0 A.C > B.C
 +) A > B và C < 0 A.C < B.C
 +) 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D
 +) A > B > 0 An > Bn Với mọi giá trị n.
 +) A > B An > Bn với n lẻ.
 +) An > Bn với n chẵn.
 +) m > n > 0 và A > 1 Am > An 
 +) m > n > 0 và 0 < A < 1 Am < An 
 +) A 0 
 3) Một số bất đẳng thức cơ bản.
 +) 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0)
 +) 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0)
 +) 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0)
 +) 
 +) (dấu = xảy ra khi A.B > 0)
 +) (dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
 Kiến thức : Để chứng minh A > B 
 Ta chứng minh A – B > 0
 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 luôn đúng với mọi M
Ví dụ 1 Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng :
 a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2(x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = .(2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx)
 = (*) 
Vì (x – y)2 0 với mọi x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y
 (y – z)2 0 với mọi y ; z Dấu bằng xảy ra khi y = z
 (z – x)2 0 với mọi z; x Dấu bằng xảy ra khi z = x
 Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi x; y; z R
Vậy x + y + z xy + yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 – ( 2xy – 2xz + 2yz ) = x2 + y2 + z2– 2xy + 2xz – 2yz
 = (x – y + z)2 0 luôn đúng với mọi x; y; z R 
Vậy x2+ y2+ z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z R. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
c) Ta xét hiệu: x + y + z+ 3 – 2( x + y + z ) = x– 2x + 1 + y– 2y + 1 + z– 2z +1
 = (x – 1)+ (y – 1)+(z – 1) 0
 Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
 a) b) 
 c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu: 
 = 
 = với mọi a; b.
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b)Ta xét hiệu: với mọi a; b.
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A – B
 Bước 2: Biến đổi H = (C D)2 hoặc H =(C D)2+.+ (E F)2
 Bước 3: Tìm ĐK để dấu “=” xãy ra.
 Bước 4: Kết luận A B
Ví dụ: Chứng minh rằng Với mọi số thực m, n, p, q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1 m.(n + p + q + 1)
 (Chuyên Nga- Pháp 98-99)
Giải:
Xét hiệu: H = 
 = 
 = 
 = Với mọi số thực m, n, p, q.
Dấu bằng xảy ra khi: 
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương.
 Lưu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã cho tương đương với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý: Các hằng đẳng thức sau:
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
 a) 
 b) 
 c) 
Giải:
 a) Ta có: 
 (bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a; b)
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi 2a = b
b) Ta có: 
 (Bất đẳng này luôn đúng).
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
c) Ta có: 
 (Bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
 Giải: Ta có: 
 (*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x > y. Chứng minh rằng 
Giải:
 Ta có: Vì: x > y nên x – y > 0 
 (vì x.y =1 nên 2 = 2xy)
 (*)
 BĐT (*) luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
 a) Chứng minh: P(x,y) = 
 b) Chứng minh: (Gợi ý: Bình phương 2 vế) 
 c) Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
 Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
 (Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá năm học 96 - 97)
 Giải: 
c) Xét 
 (vì theo gt)
 2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, hoặc cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương. 
Nếu cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều dương thì x, y, z >1 x.y.z > 1 (trái với giả thiết x.y.z =1). Vì thế, bắt buộc phải xảy ra trường hợp 2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm).
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ)
A. Một số bất đẳng thức hay sử dụng.
1) Các bất đẳng thức cơ bản.
 a) . Dấu “=” xãy ra khi x = y.
 b) . Dấu “=” xãy ra khi x = y = 0.
 c) . Dấu “=” xãy ra khi x = y.
 d) Nếu a.b > 0 thì . Dấu “=” xãy ra khi x = y.
2) Bất đẳng thức Cô sy: (Trong đó ) 
 Dấu “=” xãy ra khi: 
3) Bất đẳng thức Bunhiacopski
4) Bất đẳng thức Trê - b - sép:
 a) Nếu thì . Dấu “=” xãy ra khi 
 b) Nếu thì . Dấu “=” xãy ra khi 
B. Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc
Giải:
 Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: )
 Tacó: ; ; 
 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2
 1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 
 2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR: 
 3) Cho a > 0, b > 0, c > 0. CMR: 
 4) Cho x 0,y 0 và thỏa mãn điều kiện: . CMR: 	 
Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và . 
 Chứng minh rằng: 
 Giải: 
 Do a, b, c đối xứng, giả sử a b c 
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có:
 (Vì theo giả thiết) 
 (đpcm)
(Vì theo Ví dụ 2 ta đã chứng minh được )
 Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = .
Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và a.b.c.d = 1. Chứng minh rằng:
Giải:
Ta có: và 
Vì: a.b.c.d =1 nên (1) (áp dụng BĐT: )
Mặt khác ta lại có: 
 (2)
Từ (1) và (2) 
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ. Chứng minh rằng:
Giải: Ta có: 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: 
 Hay 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 
Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (a, b, c) ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
1. Lưu ý: A > B và B > C thì A > C
 0 < x < 1 thì x< x
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a > c + d, b > c + d
 Chứng minh rằng ab > ad + bc
Giải:
Tacó 
 (a – c)(b – d) > cd
 ab – ad – bc + cd > cd
 ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện .
 Chứng minh rằng: 
Giải: 
Ta có : (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) 0 
 ac + bc – ab (a2 + b2 + c2)
 ac + bc – ab 0 ta được (đpcm)
Ví dụ 3. Cho 0 < a, b, c, d < 1.
 Chứng minh rằng (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d	
 Giải:
 Ta có: (1 – a).(1 – b) = 1 – a – b + ab
 Do a > 0, b > 0 nên ab > 0 (1 – a).(1 – b) > 1 – a – b (1)
 Mặt khác: Vì c 0 
 (1 – a).(1 – b).(1 – c) > 1 – a – b – c 
 (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > (1 – a – b – c).(1 – d)
	 = 1 – a – b – c – d + ad + bd + cd 
 (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4
 a) Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng: 
 b) Chứng minh rằng : Nếu thì 
 (Chuyên Anh năm học 1998 – 1999)
a) Giải: 
 Do và 
 Từ đó suy ra: 
 (*)
 Mặt khác: (**)
Từ (*) và (**) 
 Hay (1)
 Tương tự : (2)
 Và (3)
 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có :
b) Giải:
Ta có: 
 Mặt khác: 
2) Bài tập: 
 a) Cho các số thực: a1; a2; a3; ; a2003 thỏa mãn: a1 + a2 + a3 + . + a2003 =1.
 Chứng minh rằng: 
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Nga Pháp 2003- 2004 Thanh Hóa)
 b) Cho a; b; c 0 thỏa mãn: a + b + c = 1
 Chứng minh rằng: 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Phương pháp 5: Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
 1) Cho a, b, c là các số dương thì
 a) Nếu thì 
 b) Nếu thì 
 2) Nếu b, d > 0 và thì 
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
Mặt khác: (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
	 (3)
Tương tự ta có: (4)
 (5)
 (6)
Cộng vế theo vế của (3); (4); (5); (6) ta có: 
 (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho và b, d > 0. Chứng minh rằng 
Giải: Từ 
Vậy (điều phải chứng minh)
Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c + d = 1000.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 
Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử: . áp dụng tính chất “Nếu thì ” ta có: (vì a + b = c + d) 
a) Nếu: b thì 
b) Nếu: b = 998 thì a = 1 Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999
Vậy giá trị lớn nhất của P = khi a = d = 1; c = b = 999
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Lưu ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó: 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn 
Biến đổi các số hạng uk về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: 
Khi đó: 
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n > 1 chứng minh rằng: 
 Giải: 
 Ta có với k = 1, 2, 3, , n – 1 
 Do đó: 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (Với n là số nguyên)
Giải :
Ta có: 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: 
Cho k chạy từ 2 đến n ta có:
 . . . . . . . . . . . . 
Vậy .
Ví dụ 4: Chứng minh các BĐT sau :
 a) 
 b) 
Giải : 
a) Ta có: 
Cho k chạy từ 1 đến n. Sau đó cộng lại ta có
 (đpcm)
b) Ta có: 
 (đpcm) 
Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lưu ý: Nếu a; b; c là độ dài 3 cạn ... hứng minh luận đề “G K” phép toán mệnh đề cho ta :
 Như  vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận
 của nó. Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A. Dùng mệnh đề phản đảo : 
 B. Phủ định rồi suy trái giả thiết :
 C. Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D. Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E. Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a + b + c > 0 , ab + bc + ac > 0, abc > 0
 Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0
Giải :
Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0 
Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
Từ ab + bc + ca > 0 a(b + c) > – bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0.
Tương tự ta có: b > 0 , c > 0
Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b + d) .Chứng minh rằng có ít 
 nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , 
Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng vế theo vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b + d) 2ac (2)
 Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức , có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3:
 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: 
 Nếu thì trong 3 số x, y, z có một số lớn hơn 1.
 Giải :
 Ta có (x – 1).(y – 1).(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1
 	= (vì xyz = 1)
 Vì theo giả thiết thì nên (x – 1).(y – 1).(z – 1) > 0
 Trong ba số (x – 1), (y – 1) và (z – 1) chỉ có một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thì x, y, z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x – 1).(y – 1).(z – 1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
===============================================================
Phần iii : các bài tập nâng cao
1) Dùng định nghĩa 
 1) Cho abc = 1 và . Chứng minh rằng .
Giải
Ta có hiệu: 
 (vì abc = 1 và a3 > 36
 nên a > 0 )
Vậy: . Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng 
 a) 
 b) (Với mọi số thực a, b, c)
 c) (Với mọi số thực a, b, c)
Giải :
 a) Xét hiệu 
 H = 
 H 0 . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
 b) Vế trái có thể viết 
 H = 
 H > 0 ta có điều phải chứng minh
 c) Vế trái có thể viết
 H = 
 H 0 . Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
Ii. Dùng biến đổi tương đương
1) Cho x > y và x.y = 1. Chứng minh rằng: 
Giải :
 Ta có: (vì x.y = 1)
 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
2) Cho x.y 1. Chứng minh rằng: 
Giải :
 Ta có: 
 BĐT cuối này đúng do x.y > 1. Vậy ta có điều phải chứng minh
Iii. dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a, b, c là các số thực và a + b + c =1
 Chứng minh rằng: 
 Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1, 1, 1) và (a, b, c)
 Ta có: 
 (vì a + b + c =1 ) (đpcm)
2) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 (1)
 Giải :
 Ta có: (1) 
 áp dụng BĐT phụ Với x, y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm)
Iv. dùng phương pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng: .
Giải:
 Do và 
 Nên 
 Hay (1)
 Mặt khác: Vì 0 < a, b < 1 và (2)
 Từ (1) và (2) 
 Hay (*)
 Tương tự ta củng chứng minh được: 
 (**) 
 Và (***)
Cộng vế theo vế của (*), (**) và (***) ta được:
 (đpcm)
2) So sánh 31 và 17.
Giải :
Ta có: (1)
Mặt khác: (2)
Từ (1) và (2) 
V. Dùng tính chất tỉ số
1) Cho a, b, c, d > 0 .Chứng minh rằng: 
Giải :
 Vì a, b, c, d > 0 nên ta có: (1)
 (2) 
 (3)
 (4)
Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
 (đpcm)
2) Cho a, b, c là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: 
Giải :
 Vì a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a, b, c > 0
 Và a < b + c ; b < a + c ; c < a + b
 Ta có: (*)
 Mặt khác: (**)
 Từ (*) và (**) (1)
 Tương tự ta củng có: (2) 
 Và (3) 
 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
 (đpcm)
Phần iv: ứng dụng của bất đẳng thức
 1. Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
 Lưu ý
 - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A.
 - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
 Ta có: (1)
 Dấu “=” xãy ra khi .
Tương tự: (2)
 Dấu “=” xãy ra khi .
Từ (1) và (2) 
 Dấu “=” xãy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là 4 đạt được khi 
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) với x, y, z > 0 và x + y + z =1
Giải : 
Vì x, y, z > 0 nên áp dụng BĐT Côsi cho 3 số x, y, z ta có:
 (1)
 Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
 Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương (x + y); (y + z) và (x + z) ta có: 
 (2)
 Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
 Từ (1) và (2) S = xyz.(x + y).(y + z).(z + x) . 
 Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S là đạt được khi x = y = z = 
Ví dụ 3: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
Giải : 
 áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 2 bộ số (x, y, z) ;(y, z, x) ta có:
 (1) 
 Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
 Lại áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 2 bộ số (x2, y2, z2) ;(1, 1, 1) ta có: 
 (2)
 Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
 Từ (1) và (2) 
 . Dấu “=” xãy ra khi x = y = z = .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là đạt được khi x = y = z = 
Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích
 lớn nhất ?
Giải : 
 Giả sử cạnh huyền của tam giác vuông là 2a
 Đường cao thuộc cạnh huyền là h
 Hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền lần lượt là x, y.
 Ta có S = 
 Vì a không đổi nên x + y = 2a không đổi.
 S lớn nhất khi x.y lớn nhất .
 Vậy trong các tam giác vuông có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất. 
Ii, dùng b.đ.t để giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau: 
Giải :
 Ta có 
 . Dấu “=” xảy ra khi x +1 = 0
 hay x = - 1 (*)
 Mặt khác: . Dấu “=” xảy ra khi x +1 = 0
 hay x = - 1 (**)
Từ (*) và (**)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1
Ví dụ 2: Giải phương trình 
Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
 . Dấu “=” xảy ra khi x = 1 (*)
 Mặt khác: . Dấu “=” xảy ra khi y = (**)
 Từ (*) và (**) khi x = 1 và y = 
 Vậy nghiệm của phơng trình là 
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình sau: 
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có: 
Lại có: 
Vì: x + y + z = 1 Nên . Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau 
Từ phương trình (1) 
Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 
 Nếu x = thì y = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là và 
Iii. dùng B.Đ.t để giải phương trình nghiệm nguyên
Ví dụ 1 Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn 
Giải :
 Vì x, y, z là các số nguyên nên: 
 (*)
 Mà 
 Phương trình (*) 
 Các số x,y,z phải tìm là 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
Giải :
 Không mất tính tổng quát ta giả sử 
 Ta có: 
 Mà z nguyên dương vậy z = 1
Thay z = 1 vào phương trình ta được 
Theo giả sử x y nên 
Vì y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2
 +) Với y = 1 không thích hợp 
 +) Với y = 2 ta có x = 2
Vậy (2, 2, 1) là một nghiệm của phương trình
Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2, 2, 1) ; (2, 1, 2) ; (1, 2, 2)
Ví dụ 3 : Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình ( 1)
 Giải :
+) Dể thấy là một cặp nghiệm của phương trình (1)
+) Với thì phương trình (1) chỉ có nghiệm khi 
 Ta có (*) phải nguyên dương.
 Đặt (k nguyên dương) 
 Khi đó phương trình (*) trở thành: 
 Mặt khác: (**)
 Vì: k và k +1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên không tồn tại một số nguyên dương 
 y thoả mãn hệ thức (**)
 Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình (1).
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
Phần V. Bài tập làm thêm.
Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
 của biểu thức: P = 
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức:
 (với a, b, c là các số dương)
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
 trong đó a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện .
Bài 5. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 6. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Bài 7. Cho các số không âm a, b, x, y thoả mãn các điều kiện:
 và . Chứng minh rằng: 
Bài 8. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9; x, y, z lần lượt là độ
 dài các dường phân giác trong của các góc A, B, C. 
 Chứng minh rằng: 
Bài 9. Cho Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
S = 
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi lần lượt là các đường cao và là các đường trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 
(Đề thi HSG Thành Phố Hải Phòng năm học 2004 – 2005)
Bài 12. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn điều kiện . 
 Xét biểu thức P = 
a) Chứng minh: P .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Chu Văn An và HN Amsterdam năm học 2005 – 2006)
Bài 13. Cho x, y, z là 3 số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất 
 của biểu thức A = 2xy + yz + zx.
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên tỉnh Bà Địa – Vũng Tàu năm học 2004 – 2005)
Bài 14. Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab > c và a3 + b3 = c3 + 1. Chứng 
 minh rằng: a + b > c + 1.
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005)
Bài 15. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi theo thứ tự là độ dài 
 các đường phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b > c thì .
Bài 16. Cho các số nguyên dương x, y, z. Chứng minh rằng: 
Bài 17. Tìm x để hàm số y = có giá trị lớn nhất.
Bài 18. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: . Chứng minh:
Bài 19. Cho x, y là hai số thực thoả mãn . Chứng minh rằng: 
Bài 20. 
1) Chứng minh rằng: với k 1 ta có : 
2) Chứng minh rằng: 
Bài 21. Chứng minh bất đẳng thức: (Với mọi a, b, c)
 ----------------&&&-----------------
Mã Thành ngày 14 tháng 8 năm 2010
 Thay mặt các đồng nghiệp
 Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc