Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán phần: Dấu hiệu chia hết (mở rộng)

CHUYÊN ĐỀ: 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
PHẦN: DẤU HIỆU CHIA HẾT (MỞ RỘNG)
A. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: 
	- Cũng cố, hệ thống hoá một số kiến thức cơ bản về dấu hiệu chia hết
	- Mở rộng thêm một số bài tập cho học sinh về dấu hiệu chia hết và liên quan với dấu hiệu chia hết.
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:
I. Một số kiến thức cần ghi nhớ:
TT
Nội dung kiến thức
Công thức
Ví dụ
1
Những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì hay các số chẵn thì . Các số lẻ thì không chia hết cho 2
2
Số khi tổng các chữ số 
Các số có tổng các chữ số không thì , đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 dư bấy nhiêu.
1764
vì (1+7+6+4) = 18
3
 Những số có 2 chữ số tận cùng tạo thành một số thì . Số thì 
1236 vì 36 
4
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì ; các số có chữa số tận cùng không phải là 0 hoặc 5 thì )
.
5
Một số vừa vừa thì hay những số chẵn mà thì 
 và b chẵn 
và tức 
672vì 672và 672
6
Số ? 
Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 råi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo;... cứ làm như vậy cho đến chữ số cuối cùng. Nếu kết quả cuối cùng này thì số đó .
Để nhanh gọn cứ sau mỗi lần nhân với 3 và công thêm chữ số tiếp theo, ta lấy kết quả trừ đi 7 hoặc 7 x 2 = 14; hoặc 7 x 3 = 21; ... Kết quả cuối cùng nếu thì số đó 
Û
Lấy:
a x 3 + b
(a x 3 + b) x 3 + c
{[(a x 3 + b) x 3 + c] x 3 + d}
Số 4683 có ?
4 x 3 = 12; 12 + 6 = 18;
18 – 7 x 2 = 4; 
4 x 3 = 12; 12 + 8 = 20;
20 – 7 x 2 = 6; 
6 x 3 = 18; 18 + 3 = 21;
21 Þ 4683
7
 Những số có 3 chữ số cuối tạo thành một số thì số đó . Số thì 
978064 vì 64 
8
Các số có tổng các chữ số thì . Các số có tổng các chữ số thì , đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 dư bấy nhiêu. Số thì 
; 
1827
vì (1+8+2+7) = 18
9
Sốvàthì. Số có chữ số tận cùng bằng 0 thì 
 và 
tức 
10
Một số khi tính từ trái sang phải, tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẽ (hoặc ngược lại tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn) 
Û í(b + d + f) – (a + c + e)ý 
hay í(b + d + f) – (a + c + e)ý
VD: 173756 Vì:
Tổng hàng chẵn: 7+7+6=20
Tổng hàng lẽ: 1+3+5=9
Do 20 – 9 = 11; 11 
Þ 173756 
11
Những số vừa vừa thì và ngược lại
và Û 
12
Những số vừa vừa thì và ngược lại. 
và Û 
13
Những số vừa vừa thì và ngược lại. 
và Û 
14
Những số khi 2 chữ số tận cùng tạo thành một số 
15
Những số khi số đó và 5 hay nói cách khác số đó khi nó có chữ số tận cùng bằng 0 và 
Û và 5 
hay c = 0 và 
16
Một số a chia hết cho một số x thì tích của số a với một số (hoặc với một tổng, hiệu, tích, thương) nào đó cũng chia hết cho số x.
a 
6 Þ (25 Í 6)
6 Þ [(2+5) Í 6]
17
Tổng 2 số chia hết cho số thứ ba, một trong hai số chia hết cho số thứ ba đó thì số còn lại cũng chia hết cho số thứ ba đó.
(24 + 12) ; 24
Þ 12
18
Hai số cùng chia hết cho một số thì tổng hay hiệu của chúng cũng chia hết cho số đó.
a ; b 
24; 12
Þ (24 + 12) 
19
Trong hai số, có một số chia hết và một số không chia hết cho số thứ ba đó thì tổng hay hiệu của chúng không chia hết cho số thứ ba đó.
 hoặc 
25 ; 13
Þ (25 + 13)
20
Hai số cùng chia cho một số thứ ba và đều cho cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho số thứ ba đó.
a : x dư r; b : x dư r 
14dư 2; 22dư 2 
Þ (14 + 22)
21
Một số đồng thời chia hết cho hai số mà 2 số đó là số nguyên tố cùng nhau thì số đó chia hết cho tích của hai số nguyên tố cùng nhau đó.
35 ; 35mà 5 và 7 là số nguyên tố Þ 35 
II. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm tất cả các chữ số a và b để 
Giải: Số khi nó và . Do đó: Số Û và (7+a+3+9+b)
Khi b = 0	ta có: a = 2; 5; 8.
Khi b = 5	ta có: a = 0; 3; 6; 9.
Bài 2: Tìm một số chia cho 2; 3; 4; 5; 6 dư 1 và chia cho 7 thì vừa hết. Biết số đó < 400
Giải: 
Cách 1: Số chia cho 2; 3; 4; 5; 6 dư 1 là bội số của 2; 3; 4; 5; 6 thêm 1.
Gọi số phải tìm là A (đk A < 400), ta có:
A = 60 + 1	không chia hết cho 7
A = 2 Í 60 + 1	không chia hết cho 7
A =5 Í 60 + 1	chia hết cho 7
Vì A < 400 nên số cần tìm là 301.
Cách 2: Gọi số phải tìm là A (đk A < 400), ta có:
A : 2 dư 1
A : 3 dư 1
A : 4 dư 1	Suy ra: A : 60 dư 1
A : 5 dư 1
A : 6 dư 1
Để A và A < 400 thì A có thể bằng các số sau đây:
 60 + 1 = 61 
	2 Í 60 + 1 = 121
	3 Í 60 + 1 = 181
	4 Í 60 + 1 = 241
	5 Í 60 + 1 = 301
	6 Í 60 + 1 = 361
Trong các số trên chỉ có số 301 là thoã mãn đề bài nên số cần tìm là 301.
Bài 3: Một số chia cho 3 dư 2; chia cho 5 dư 4. Hỏi chia cho 15 dư bao nhiêu?
Giải: 	Số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 12.
	Gọi số đó là A ta có:
	(A + 1) 
	(A + 1) 
	Vậy:	(A + 1) 
	Suy ra: A chia cho 15 dư 14.
Bài 4: Tổng số bài toán trong một cuốn sách là một số có hai chữ số. Nếu thêm ba bài toán nữa thì chữ số hàng chục gấp rưỡi chữ số hàng đơn vị. Nếu bớt 3 bài toán thì được một số đồng thời chia hết cho 2; 3 và 5. Tìm số bài toán trong quyển sách.
Giải: Gọi số trang sách là (đk: a ¹ 0; b < 10)
Theo bài ra ta có: 
 + 3 thì chữ số hàng chục của ( + 3) bằng 3/2 chữ số hàng đơn vị của ( + 3) 
( - 3) . Nhận thấy số chia hết cho 30 có tận cùng bằng 0, tức ( - 3) có tận cùng bằng 0. Suy ra b = (0 + 3) = 3.
Khi ( + 3) thì có chữ số tận cùng bằng 6. Suy ra chữ số hàng chục của ( + 3) là 9 (tức 6 Í 3/2)
Vậy: ( + 3) = 96. Suy ra = 93.
Bài 5: 	Cho biểu thức (a - b) Í (a + b) = 2010. 
Hỏi có thể tồn tại các giá trị a, b để thoả mãn giá trị trên.
Giải: Nhận thấy (a - b) Í (a + b) sẽ xảy ra hai trường hợp hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ. 
(Vì: Nếu a, b cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì (a - b) và (a + b) cũng đều chẵn khi đó (a - b) Í (a + b) chẵn; nếu a, b khác tính chẵn, lẽ thì (a - b) và (a + b) đều lẻ khi đó (a - b) Í (a + b) lẻ) . 
- Trong trường hợp (a - b) Í (a + b) chẵn khi đó (a - b) và (a + b) đều chẵn thì (a - b) Í (a + b) . Nhưng 2010 không chia hết cho 4.
- Trong trường hợp (a - b) Í (a + b) lẻ trái với kết quả 2010 là chẵn.
Như vậy, sẽ không tồn tại giá trị a, b nào để (a - b) Í (a + b) = 2010.
*Bài 6: Có 6 hòm cân nặng lần lượt: 22kg; 23 kg; 26kg; 28kg; 29kg và 31 kg. Có hai người lấy ra 5 hòm. Người này lấy gấp 4 lần người kia. Hỏi hòm nào để lại?
Giải: 	Tổng số hòm cân nặng là: 22 + 23 + 26 + 28 + 29 + 31 = 159 (kg)
	Khối lượng kg lấy ra của 2 người là một số chia hết cho 5.
Để thoã mãn điều kiện trên thì hòm 29 kg là hòm để lại. (159 – 29 = 130 và 130 )
Bài 7: Không thực hiện phép tính, theo bạn kết quả của phép tính trên đúng hay sai?
	HOCHOCHOC
	TAPTAPTAP
 	 20092010
Giải: 	Nhận thấy: 	HOCHOCHOC 	Vì: H+O+C+H+O+C+H+O+C = 3Í (H+O+C)
	TAPTAPTAP	Vì: T+A+P+T+A+P+T+A+P = 3Í (T+A+P)
	Suy ra: 	(HOCHOCHOC – TAPTAPTAP)
	Nhưng:	20092010 không chia hết cho 3.
	Nên:	Không thể tồn tại: 	HOCHOCHOC
	TAPTAPTAP
 	 	 20092010
*Bài 8: Cứ 7 ngày một lần người đưa báo đến nhà Micky để đưa Tuần báo. Cứ 6 ngày người đưa sữa đem sữa đến nhà Micky một lần. Ngày 01/10 vừa rồi hai người cùng đến nhà Micky. Hỏi khi nào (ngày nào, tháng nào) hai người lại cùng đến nhà Micky?
Giải: Vì ta thấy: 7 Í 6 = 42; 6 Í 7 = 42 nên tính từ ngày gặp nhau vừa rồi thì 42 ngày nữa họ lại gặp nhau. Tháng 10 có 31 ngày nên ngày họ gặp nhau sắp tới sẽ là: 
42 - (31-1) = 12 (ngày 12 tháng 11).
Bài 9: Cho 2 số: và . Chứng tỏ rằng hiệu của chúng và 
Giải: 	 - 	= 100 Í a + 10 Í b + c – (100 Í c + 10 Í b + a)
	= 99 Í a – 99 Í c
	= 99 Í (a – c)
Vì: 99 và 99 nên 99 Í (a – c) hay ( - ) và 
Bài 10: Tháng 6 của một năm có 5 ngày chủ nhật. Hỏi 3/6 là ngày thứ mấy?
Giải: Ta có 7 Í 4 = 28. Tháng 6 có 30 ngày. Vậy để có 5 ngày chủ nhật trong tháng 6 thì ngày chủ nhật đầu tiên là ngày 01/6 hoặc ngày 02/6.
Trường hợp 1: Nếu ngày 01/6 là chủ nhật thì ngày 03/6 là ngày thứ ba.
Trường hợp 2: Nếu ngày 02/6 là chủ nhật thì ngày 03/6 là ngày thứ hai.
Bài 11: Số chữ số dùng để đánh số trang của một cuốn sách là một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang?
Giải: Gọi số trang của cuốn sách là (đk: a ¹ 0; b; c <10)
Ta có: 
Số chữ số của số trang sách có 1 chữ số là: [( 9 - 1) : 1 + 1] Í 1 = 9 (chữ số)
Số chữ số của số trang sách có 2 chữ số là: [( 99 - 10) : 1 + 1] Í 2 = 180 (chữ số)
Số chữ số của số trang sách có 3 chữ số là: [( - 100) : 1 + 1] Í 3 = 3 Í - 297
Theo bài ra ta có: 
	(9 + 180 + 3 Í - 297) 
	Û (3 Í - 108) 
	Û (3 Í - 108) 
	Þ 108 
	Þ = 108.
Thử lại: (9 + 180 + 3 Í - 297) = (9 + 180 + 3 Í 108 - 297) 
	= (3 Í 108 – 108) 
	= 2 Í 108 
Vậy số trang sách của cuốn sách làd: 108 trang.
Bài 12: Chứng minh rằng không thể thay các chữ bằng các chữ số để được phép tính đúng:
	- = 2004
Giải: Ta có:	
 = Í 1000 + 
	 = Í 1000 + 
	2004 	= Í 999 - Í 999
	= ( - ) Í 999	
Để ( - ) Í 999 = 2004 thì - = 6 hoặc có tận cùng bằng 6.
Nhưng: 6 Í999 = 5994 > 2004 (trái với đk bài toán).
Vậy: Không thể thay các chữ bằng các chữ số để được phép tính đúng.
Bài 13: Cha hiện nay 43 tuổi. Nếu tính sang năm thì tuổi cha vừa gấp 4 lần tuổi con hiện nay. 
a. Hỏi lúc cha mấy tuổi thì tuổi cha gấp 5 lần tuổi con? 
b. Có bao giờ cha gấp 4 lần tuổi con không? Vì sao?
Giải: 	
 a. 	Tuổi cha sang năm là: 43 + 1 = 44 (tuổi)
	Tuổi con hiện nay là: 44 : 4 = 11 (tuổi)
	Gọi x (đk: x ¹ 0) là số năm để cha gấp 5 lần tuổi con, ta có:
(43 + x) = (11 + x) Í 5 hoặc: (43 – x) = (11 – x) Í 5
Nhưng vì tuổi con hiện nay 11 và tuổi cha 43, tuổi con (11) > 1/ tuổi cha (43 : 5) nên chỉ có: 
(43 – x) = (11 – x) Í 5 là thoã mãn.
 Û	43 – x = 55 – x Í 5
 Û	x Í 4 = 55 – 43	
 Û	x Í 4 = 12
 Þ	x = 3.
Vậy lúc con: 11 – 3 = 8 (tuổi) thì cha gấp 5 lần tuổi con.
 b. 	Ta thấy:
	Cha luôn hơn con: 43 – 11 = 32 (tuổi)
	Để cha gấp 4 lần tuổi con thì hiệu của tuổi cha và tuổi con phải chia hết cho 3.
	Nhưng 32 không chia hết cho 3.
	Vậy không thể có một lúc nào đó cha gấp 4 lần tuổi con.
Bài 14: Trên một băng rôn của Giao lưu Toán Tuổi thơ ngươi ta thấy xuất hiện dòng chữ: GIAO-LUU-TOAN-TUOI- THO-2008 được lần lượt được tô bởi các màu xanh-đỏ-tím-vàng-lục-da cam. Hỏi con chữ thứ 2009 là được tô bởi màu gì?
Giải: 
Ta thấy: Dòng chữ trên gồm có 22 con chữ và con số.
 Nếu gọi 22 con chữ và con số trên là một chu kì, thì con chữ (con số) thứ 2009 được lặp lại: 2009 : 22 = 91 (chu kì) và dư 7 (con chữ, con số).
Vì còn dư 7 (con chữ, con số) nên con chữ thứ 7 đó là con chữ U trong chữ LUU.
Mà chữ LUU được tô bởi màu đỏ nên con chữ thứ 2009 là con chữ U và được tô bởi màu đỏ.
Bài 15: Có 3 que, mỗi que dài 6 cm;
 Có 4 que, mỗi que dài 4 cm; 
 Có 5 que, mỗi que dài 2 cm; 
	 Có 2 que, mỗi que dài 8 cm.
Hỏi: 	a. Có thể ghép được thành một hình vuông không?
b. Nếu không thì để ghép được ta phải bớt que nào?	 
Giải: 	a. Tổng độ dài các que là: 3 x 6 + 4 x 4 + 5 x 2 + 2 x 8 = 60 (cm).
	Độ dài mỗi cạnh là: 60 : 4 = 15 (cm)
	Nhưng ta thấy độ dài của mỗi que đều chẵn nên độ dài của cạnh hình vuông cũng phải chẵn.
	Như vậy với số lượng và độ dài các que như trên ta không thể ghép được thành một hình vuông.
	b. Để ghép được hình vuông ta phải bớt que nào đó để đảm bảo tổng độ dài các que chia hết cho 4 và độ dài của cạnh phải là một số chẵn. Để thoả mãn điều kiện trên ta phải bớt đi 1 que có độ dài bằng 4 cm.
Bài 16: Có 50 que có độ dài lần lượt là: 1; 2; 3; ... ; 49; 50.
Hỏi từ các que và độ dài các que trên, ta có thể:
Ghép thành một hình vuông?
Ghép thành một hình chữ nhật?
Ghép thành hình một ngũ giác đều:
Giải: Tổng độ dài các que là: 
	1 + 2 +3 + ... + 49 + 50 = (1 + 50) + (2 + 49) + ... + (25 + 26) = 51 Í 25 = 1275
	a. Không thể xếp được thành một hình vuông vì: 1275 không chia hết cho 4.
	b. Không thể xếp được thành một hình chữ nhật vì: 1275 không chia hết cho 2.
	c. Nếu đem ghép thành một hình ngũ giác đều thì mỗi cạnh có độ dài là: 1275 : 5 = 255 (cm).
Tách và ghép thành từng cặp độ dài:
Cạnh 1: (1 + 50) + (2 + 49) + (3 + 48) + (4 + 47) + (5 + 46)
Cạnh 2: (6 + 45) + (7 + 44) + (8 + 43) + (9 + 42) + (10 + 41)
Cạnh 3: (11 + 40) + (12 + 39) + (13 + 38) + (14 + 37) + (15 + 36)
Cạnh 4: (16 + 35) + (17 + 33) + (18 + 33) + (19 + 32) + (20 + 31)
Cạnh 5: (21 + 30) + (22 + 29) + (23 + 28) + (24 + 27) + (25 + 26)