Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học: 2012 - 2013

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN XÍN MẦN
TRƯỜNG PTDTBT THCS NÀN MA
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Năm học : 2012-2013(Thời gian 180 phút)
Bài 1. (1 điểm)
Tính : 
Bài 3: (2 điểm)
	Tìm x biết:
Bài 3(2 điểm)
Chứng minh rằng
 a. a2+b22ab
 b. a4+b4+1ab(a+b+1)
Bài 4(2 điểm)
Cho biÓu thøc .
a) Rót gän biÓu thøc A	b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 4 
Bài 4(3 điểm)
 Cho hai nửa đường tròn ( O;R1 ) và ( O’;R2 ) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’có tiếp điểm với đường tròn ( O ) ở T với đường tròn ( O’ ) ở T’, Cắt đường tròn nối tâm OO’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A của hai nửa đường tròn cắt TT’ ở M
a) Tính độ dài AM theo các bán kính của hai đường tròn ( O )và ( O’ ).
 Chứng minh: SO.SO’ = SM2
	 ST.ST’ = SA2 
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếpOMO’tiếp xúc với SM tại M
 GV: LÊ MINH HẢO
Đáp án
Câu
Điểm
1
0,25
0,25
0,5
2
Đặt a = x – 2012 2011-x=2011-(a+2012)=-(1+a)
0,25
0,25
0,25
a2+a+1= 3a2+3a+1
0,25
 a2+a=0
0,25
a(a+1)=0
0,25
a=0 hoặc a=-1
0,25
x=2012 hoặc x=2011
0,25
3
a
a2+b22ab
 a2-2ab +b20
0,25
(a-b)20 luôn đúng dấu bằng xảy ra khi a=b
0,25
b
Ta có: a4+ b42a2b2 (1)
0,25
 b4+12 b2 (2)
0,25
 1+ a42 a2 (3)
0,25
Từ (1);(2);(3) ta có
0,25
(a4+ b4)+( b4+1)+(1+ a4)2a2b2+2 b2+2 a2 
2(a4+ b4+1)2(a2b2+ b2+ a2) (4)
0,25
Tương tự ta có: a2b2+ b2+ a2a2b+ab2+ab=ab(a+b+1) (5)
Từ (4);(5) ta có a4+b4+1ab(a+b+1)
0,25
4
ĐK: và 
a
b
Ta có A=-4
--1=-4
=3
x=9
5
GT: ( O ) và ( O’ ) tiếp xúc ngoài ở A
 TT’ tiếp tuyến chung 
 TT’xOO’=S. 
 Tiếp tuyến chung tại A của hai nửa đường tròn 
 cắt TT’ ở M
KL : a. AM=?
 SO.SO’ = SM2 và ST.ST’ = SA2 
 Chứng minh rằng đường tròn ngoại
 tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và 
 đường tròn ngoại tiếpOMO’tiếp xúc với SM tại M
T
O
A
M
’’
O’
S
T’
0,5
a
MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và AMT’ nên =90o
Tam giác OMO’ vuông ở M có MA OO’ nên:
0,5
MA2 = OA.OA’,
Suy ra: MA = 
0,25
SO’M ~ SMO suy ra: 
0,5
SAT~ST’A suy ra: 	
0,5
b
MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp TAT’ và OO’	MA tại A.
Do đó đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A.
0,25
Do đó đường tròn ngoại tiếp TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A.
0,25
Gọi M’ là trung điểm của OO’ thì M’M//OT SM	M’M ở M mà M’M là bán kính đường tròn ngoại tiếp OMO’.
0,25