Ôn tập Toán thi vào lớp 10

 Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức (Chia thành các đề)
Bài 9: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức :
 P= 
Rút gọn P
Tìm a để P<
Bài 11: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Tìm x để P<
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P=
Chứng minh P
Bài 14: Cho biểu thức:
 P= với m>0
Rút gọn P
Tính x theo m để P=0.
Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Biết a>1 Hãy so sánh P với P 
Tìm a để P=2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức
 P= 
Rút gọn P
Tính giá trị của P nếu a= và b=
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 
Bài 17: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Với giá trị nào của a thì P=7
Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:
 P= 
Rút gọn P
Tìm các giá trị của a để P<0
Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức:
 P=
Tìm điều kiện để P có nghĩa.
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi a= và b=
Bài 20: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Chứng minh rằng P>0 x 
Bài 21: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Tính khi x=
Bài 22: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Chứng minh P 
Bài 24: Cho biểu thức :
 P=
Rút gọn P
Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P 
Cho P= tìm giá trị của a
Chứng minh rằng P>
Bài 26: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức: 
 P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P>
Bài 29: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :
 P= 
Rút gọn P
Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
Phần 2: Các bài tập về phương trình bậc 2:
Bài 40: Cho phương trình 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 41: Cho phương trình 
 (với m là tham số )
Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m
Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phương trình 
 với m là tham số
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình 
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức:
Bài 43: A) Cho phương trình :
 (m là tham số)
Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 
Đặt 
Chứng minh 
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng
Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
 B) Cho phương trình 
 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt A=
CMR A=
Tìm m sao cho A=27
 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 44: Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Đặt (n nguyên dương)
CMR 
áp dụng Tính giá trị của : A=
Bài 45: Cho 
 f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 
Bài 46: Cho phương trình : 
Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 
Gọi là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính theo m
Bài 47: Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 48: Cho phương trình 
Giải phương trình khi m= 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :
Bài 49: Cho phương trình 
 (1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình (1) thoả mãn hệ :
Bài 50: Cho phương trình:
 ( k là tham số)
CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho 
Bài 51: Cho phương trình
 (1) 
Giải phương trình (1) khi m=1
Giải phương trình (1) khi m bất kì
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52:Cho phương trình : 
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Phần 3: Hệ phương trình:
Bài 58 :Giải hệ phương trình sau:
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
Bài 60 :GiảI hệ phương trình:
Bài 61:Cho hệ phương trình :
Giải hệ phương rình khi a=-
Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 72: Cho (P) và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số 
Vẽ đồ thị hàn số trên
Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 74: Cho (P) và đường thẳng (d) y=2x+m
Vẽ (P)
Tìm m để (P) tiếp xúc (d) 
Bài 75: Cho (P) và (d) y=x+m
Vẽ (P)
Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 76: Cho hàm số (P) và hàm số y=x+m (d)
Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng () y=-2(x+1)
Điểm A có thuộc () ? Vì sao ?
Tìm a để hàm số (P) đi qua A
Xác định phương trình đường thẳng () đi qua A và vuông góc với ()
Gọi A và B là giao điểm của (P) và () ; C là giao điểm của () với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 78: Cho (P) và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
Viết phương trình đường thẳng (d) 
Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
 (Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ có nghĩa là A(-2;) và B(4;)ị tính )
Bài 79: Cho (P) và điểm M (1;-2)
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi 
Gọi lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
 *Tính S theo m
 *Xác định m để S=
Bài 80: Cho hàm số (P)
Vẽ (P)
 Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) 
 và đường thẳng (d) 
Vẽ (P)
Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm 
Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P) và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m.
Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B 
Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 83: Cho (P) và đường thẳng (d) đi qua điểm I() có hệ số góc là m
Vẽ (P) và viết phương trình (d) 
Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P) 
Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P) và đường thẳng (d) 
Vẽ (P) và (d) 
Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) 
Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 85: Cho (P) 
Vẽ (P) 
Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình đường thẳng AB 
Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) 
Bài 86: Cho (P) 
Vẽ (P) 
Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình cắt nhau tại một điểm trên (P) 
Phần 5: Giải toán bằng cách lập phương trình
1. chuyển động
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi được quãng đường AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đường còn lại . Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 93: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 Km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngược chiều nhau . Sau 1h40’ thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là 3 Km/h. 
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B.Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB , người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h  ... ểm M rồi hạ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.
CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được 
CMR tia đối của tia MI là phân giác é HMK
CMR tứ giác MPIQ nội tiếp được . Suy ra PQ // BC 
 Bài 130: Cho D ABC ( AC > AB ; > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.
CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng 
CMR tứ giác BFEC nội tiếp được 
Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy
Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp D AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .
 Bài 131: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA = , một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .
CMR OI ^ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O) 
 Bài132: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
D AFC và D BEC có quan hệ với nhau như thế nào ? Tại sao ?
CMR D FEC vuông cân
Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp được 
 Bài133: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
CMR D AMC đồng dạng D ANC . 
CMR : AM.CN = 2R2 
Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số 
 Bài 134: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB . Gọi H , I lần lượt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
Tính độ lớn góc HKM
Vẽ IP ^ AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) 
Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB
 Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của D ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lượt tại M, N . 
 a) CMR D OBM đồng dạng D NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .
 b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
 c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
 Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R (). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường Mz cắt Ax , By lần lượt tại N và P . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :
 a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP
 b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC 
 c) AD.BC = 4R2
 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất 
 Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lượt tại M và N .
CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn 
IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
 Bài 138: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B () và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đường tròn (O’) tại I .
Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC
 Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn . Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N . Đường tròn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C , D
Chứng minh : CD // AB .
Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
CMR : KM.KN không đổi
 Bài 140: Cho một đường tròn đường kính AB , các điểm C , D ở trên đường tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lượt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K 
CMR: cân
CMR tứ giác MCKH nội tiếp được . Suy ra KH // AD
So sánh góc CAK với góc DAK
 Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P.
CMR tứ giác ABMD nội tiếp được 
CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M 
Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động.
 Bài 142: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .
Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định .
Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA)
Đường tròn đi qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
Xác định vị trí của M sao cho .
 Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
Góc CID bằng góc CKD
Tứ giác CDFE nội tiếp được 
IK // AB
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A 
 Bài 144: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lượt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đường kính BO1D và CO2E.
CMR: M là trung điểm của BC
CMR: O1MO2 vuông
Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
Gọi I là trung điểm của DE . CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d 
 Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là giao điểm của các đường thẳng PB , QA.
CMR : PQ là đường kính của đường tròn (O) 
Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh độ dài SH không đổi 
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định.
 Bài 146: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
CMR : BM // OP
Đườngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ?
Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng 
Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O)
 Bài 147: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P .
CMR tứ giác OMNP nội tiếp được 
Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
CMR : CM.CN không đổi 
CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định 

 Bài 148: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F .
CMR: B , F , C thẳng hàng 
Tứ giác CDEF nội tiếp được 
Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’)
 Bài 149: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ).
CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
CMR : CA và DB vuông góc với AB
CMR : đồng dạng 
CMR : AC.BD = R2
 Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .
Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi 
Hạ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R)
CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
 Bài 151: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 900 và . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F .
Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được.
Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đường tròn 
 Bài 152: Cho (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.
CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được .
CMR : MI2 = MH . MK
CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được . Suy ra PQ MI
CMR nếu KI = KB thì IH = IC