Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008- 2009
Môn Thi: Toán- Thời gian 90 phút
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1:( 2 điểm )
 Cho a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng 
Câu 2: ( 2 điểm )
 Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 
Câu 3: ( 2 điểm )
Giải phương trình sau
Câu 4: ( 2 điểm )
Cho r ABC, trên ba cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho AD, BE, CF cắt nhau tại H .Chứng minh rằng :
a) 
b) 
Câu 5: ( 2 điểm )
 Cho r ABC vuông tại A có AC=b, AB=c và đường phân giác trong của góc A là AD =d . Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Vì a và b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên và 
Vì và là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên mỗi tích chia hết cho 2 (1)
mà là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
 (2)
Từ (1) và (2) 
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
Câu 2
Ta có 
Tương tự ; 
 Nên 
Aùp dụng BĐT Côsi cho ba số dương x, y, z ta có 
suy ra (1) đúng Do đó 
0.5đ
0.5đ
1đ
Câu 3: Ta có
Và 
Mà VT = VP nên dấu “=” trong mỗi vế phải xãy ra 
Vậy PT đã cho có một nghiệm duy nhất là 
1đ
1đ
Câu 4:
Câu a) Kẻ đường cao BK của r ABD , Xét r ABD và r ABH có chung đường cao BK nên 
 (1)
Tương tự (2)
Và (3) 
Từ (1,2,3) 
Câu b) Ta có 
 (4)
 Tương tự (5)
 Và (6)
Từ (4,5,6) ≥ 2 + 2 + 2=6 ( Bất Đẳng Thức Côsi)
Dấu ‘ =’ xảy ra khi SHBC = SHCA = SHAB 
 H trùng với trọng tâm của r ABC
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 5
Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AB=AE , khi đó r AEB vuông cân tại A có EB= c
 và =450 mà và ở vị trí so le trong nên EB ║ AD a r ACD T r ECB (G-G)
a ↔ ↔
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ